Kopiczyński urodził się 15 kwietnia 1934 roku w Międzyrzecu Podlaskim, skąd w latach 50-tych wyjechał do Wrocławia. W 1958 roku ukończył studia w łódzkiej PWST.
Na wielkim ekranie zadebiutował w 1957 roku w filmie Jerzego Kawalerowicza „Prawdziwy koniec wielkiej wojny”. W latach 1958–1960 występował w Teatrze im. Stefana Jaracza w Olsztynie. W latach 1960–1961 był aktorem Teatru Współczesnego w Bydgoszczy, 1961–1962 Teatru Dramatycznego, 1962–1963 Teatru Bałtyckiego w Koszalinie, a od 1963 do 1970 Teatru Dramatycznego w Szczecinie. Od 1970 roku aktor występował na scenach teatrów warszawskich. W latach 1970–1979 był aktorem Teatru Narodowego, 1979–1982 Teatru Rozmaitości, 1982–1986 Teatru Na Woli, a od roku 1986 występował w Teatrze Kwadrat.
Szerszej publiczności Andrzej Kopiczyński był znany z roli inżyniera Stefana Karwowskiego w serialach „Czterdziestolatek” (1974-1977) oraz „40-latek. 20 lat później” (1993), a także filmu „Motylem jestem czyli romans 40-latka” (1976) w reżyseriach Jerzego Gruzy.
W 2014 roku zdiagnozowano u niego chorobę Alzheimera.
